Quando o professor entra na sala e vai falar sobre números complexosOs alunos já pensam que o professor já vai falar sobre números complicados.
Percorrendo sua história veremos que o
Surgimento de tais números está intimamente ligado a resolução de equações algínicas, sobretudo
as equações de grau 3, e não as de grau 2 como e comum se dizer. Também vamos aprender que
sua aceitação, compreensão e utilização ocorreu de maneira lenta e gradual.
Resolver equações sempre foi um assunto que fascinou matemáticos ao longo da história. Os
matemáticos antigos da Babilônia a conseguiam resolver algumas equações do 2o grau baseados
no que hoje chamamos de \completamente de quadrado".
Conclusã:apredemos um poco sobre a história
Dos números complexos e seus estudos
Vagner e edivan nos 41 e 9 3 a
terça-feira, 25 de maio de 2010
Nomes:Iara,Tatiane
Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resolução de equações algébricas de terceiro e quarto grau. No século XVII os complexos são usados de maneira tímida para facilitar os cálculos. No século XVIII são mais usados na medida que se descobre que os complexos permitem a conexão de vários resultados dispersos da Matemática no conjunto dos números reais. No entanto, nada é feito para esclarecer o significado desses novos números. No século XIX, aparece a representação geométrica dos números complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Física, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano. Os números complexos passam a ser aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática.
Conclusão:
As equações de segundo grau com discriminante (delta) negativo não motivaram o aparecimemto dos números complexos. Que significado teriam os números negativos e as raízes quadradas destes? ( [1] Boyer; [42] The Times; [4] Kasner & Newman; [11] Smith; [2] Green ; Estereometria de Heron (c. 75 d.C); A Arithmética de Diophanto (c. 275 d.C.); O Bija-Ganita de Baskara (c. 1150) ).
Os números complexos emergiram em pleno momento histórico chamado de Renascença (1400-1600), onde tivemos, estimulados pelo desenvolvimento comercial e pelo crescimento das cidades européias, o desenvolvimento da Matemática através dos trabalhos de Paccioli (1494), Tartaglia e Cardano (1545). Os complexos não foram aceitos naturalmente como números. Não havia sentido (significado geométrico) em uma raiz quadrada de um número negativo. ( ( [17] Millies; [32] Witmer; [15] Ricieri; Triparty en la science des nombres de Chuquet (1484); Summa Arithmetica de Paccioli (1494) ).
As equações cúbicas estudadas por Cardano (1545) e Bombelli (1572) motivaram a utilização dos números complexos. Foi necessário trabalhar com os números complexos, "como se fossem números", para achar a solução real (positiva) x = 4 do problema: "Seja x3 o volume de um cubo de aresta x e 15x o volume de um paralelepípedo retângulo cuja área da base é 15 e cuja altura é igual à aresta do cubo. Determine x de modo que x3 = 15x + 4 ". Foi encontrada uma dificuldade ao aplicar o método (fórmula) de Cardano nesta equação de terceiro grau, pois apareceu na solução uma raiz quadrada de número negativo: x = (2 - Ö-121)1/3 + (2 + Ö-121)1/3.
Como uma solução com radicais de números negativos poderia produzir uma solução real positiva x = 4 ?
A fórmula de Cardano está errada?
O número x = (2 - Ö-121)1/3 + (2 + Ö-121)1/3 = 4 ?
( [1] Boyer; [17] Millies; [32] Witmer; [5] Caraça ; [15] Ricieri; Ars Magna de Cardano (1545); L'Algebra de Bombelli (1572) ).
O símbolo Ö-1 , para a raiz quadrada de -1, introduzido por Girard (1629), passou a ser representado pela letra i a partir de Euler (1777). Foi Descartes (1637) quem introduziu os termos real e imaginário. A expressão números complexos foi usada pela primeira vez por Gauss (1831). ( [1] Boyer; [15] Ricieri ; Invention novelle en L'Algebre de Girard (1629); La Géométrie de Descartes (1637); Analysin infinitorum de Euler (1748) ).
Cardano (1545), Bombelli (1572) e Leibniz (1676) conjecturaram que a soma de dois complexos conjugados daria um números real. Cauchy (1829), Hermite (1865), entre outros, constataram estas propriedade. Girard (1629), Descartes (1673) e D'Alembert (1746) conjecturaram o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), que foi provado por Gauss (1798). ( [11] Smith; [1] Boyer; [15] Ricieri; [34] Mac Tutor; [35] Mathematics; [6] Eves; Analyseos Miraculum de Leibniz (1702); Invention novelle en L'Algebre de Girard (1629); Reflexions sur la cause générale des vents de D'Alembert (1746) ).
Girard (1628), Wallis (1685), Argand (1790) e Wessel (1797), independentemente motivados pela Geometria e pela Topografia, representaram geometricamente, de maneira intuitiva e prática, os complexos como pontos (vetores) num plano cartesiano. Gauss (1831) e Hamilton (1833) redescobriram a representação geométrica e definiram os complexos. Gauss os definiu como números da forma a+bi, onde a e b são números reais e i2 = -1. Hamilton os definiu como o conjunto dos pares ordenados (vetores) (a,b), onde a e b são números reais, identificando (0,1) com 0+i e (1,0) com 1+0i . Hamilton associou a multiplicação (a,b)×(x,y) = (ax-by , ay+bx) a uma operação envolvendo a rotação de vetores em torno da origem. Multiplicar por i envolve uma rotação de 90 graus, multiplicar por i2 = -1 envolve uma rotação de 180 graus, multiplicar por i3 = -i envolve uma rotação de 270 graus e assim por diante.
Bibliografia:
Nome:Lucas N° 28
Nome:Thais chagas N° 44
NÚMEROS COMPLEXOS
A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos números de Cayley, ... .
É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos. Ela é definida por:
onde s = c + i d é um número complexo e c >1.
A história dos números complexos revela-se fascinante. Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração. Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é . Ora, não é razão de naturais! Além disso, os Pitagóricos descobriram muitos outros desse tipo: , , , , ... .
O Surgimento dos Numeros Complexos
Resolver equa coes sempre foi um assunto que fascinou matematicos ao longo da historia. Osmatematicos antigos da Babil^onia j a conseguiam resolver algumas equacoes do 2o grau baseadosno que hoje chamamos de completamento de quadrado".Os matematicos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da matematica, resolviam alguns tipos de equacoes do 2o grau com r egua e compasso.A conquista da Grecia por Roma praticamente acabou com o dominio da Matematica Grega.Com o m do Imperio Romano e a ascensao do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevase o desenvolvimento da Matematica cou nas maos dos arabes e dos hindus.Os matem aticos hindus avan caram nas pesquisas em Algebra e Baskara e o nome que imediatamentevem a nossa memoria quando falamos de equacoes do 2o grau. Entretanto a f ormula deBaskara nao foi descoberta por ele, mas sim pelo matemamico hindu Sridhara, no seculo 11. Os N umeros Complexos Sao De nidosA Aritmetica e a Geometria tiveram origens independentes mas com o tempo foram sendodescobertas relacoes entre numeros e formas. A ideia de empregar sistemas de coordenadas parade nir posições de pontos no plano e no espaco ja havia sido utilizada da no s eculo III a.C.por Apol^onio, em seus trabalhos sobre seccoes conicas. Entretanto, foi na primeira metade dos eculo XVII que os geniais matem aticos franceses Pierre de Fermat e Ren e Descartes inventaram,independentemente e quase simultaneamente, o que hoje conhecemos por Geometria Analitica.Fermat não se preocupou em publicar suas ideias, ao contr ario de descartes que, no apêndicde seu mais famoso livro Discurso Sobre o Metodo de Bem Utilizar a Razão e de Encontrar aVerdade nas Ciências, publicado em 1637, escreveu um trabalho denominado La Geometrie, quee considerado a pedra fundamental da Geometria Analitica.Com o dom nio da geometria Anal tica Descartes estudou, entre outras coisas, as equaçãoesalg ebricas. Em uma passagem do Discurso do M etodo Descartes escreveu a seguinte frase: \Nemsempre as raizes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equaçãao são reais. As vezeselas são imaginarias".
Números complexos
História de uma unidade imaginária
Em 1545, na Itália, pesquisavam-se as soluções de equações algébricas. Um folheto de problemas proposto pelo matemático Girolamo Cardano exibia o seguinte problema:"Dividir o número 10 em duas parcelas cujo produto seja 40".Para Cardano, "o problema é manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar": ele mostrou que os números 5 + e 5 - funcionariam como soluções do problema.Contudo, ele não encontrou explicação para esses resultados. Somente supunha que esses números - uma vez obedecendo às regras da álgebra válidas para números reais - satisfaziam as condições impostas:
· a soma dos dois números é 10;
· produto dos dois números é 40.Algo mais inquietante ocorria na resolução da equação x3 - 15x - 4 = 0. Cardano conhecia a solução x = 4, mas a aplicação de uma regra prática levava a .Porém, como se chega a = 4?A resposta foi dada em 1572, por Rafael Bombelli, a quem ocorreu que talvez cada uma das parcelas (expressas como raízes cúbicas) fossem algo do tipo a + e a - .Supondo, novamente, que se pudessem operar tais entidades segundo as mesmas regras da álgebra dos números reais, ele chegou à forma:= 2 + = 2 - e, finalmente,= 2 + + 2 - = 4.O próprio Bombelli duvidou da validade desses resultados: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade." De fato, os nomes atribuídos a esses novos números refletem bem o desconforto que causaram, na falta de coisa melhor: números "sofísticos", "sem significado", "impossíveis", "fictícios", "místicos", "imaginários".
Leonhard Euler
Mesmo assim, eles vieram resolver a insuficiência dos números reais para a solução das equações algébricas, resolvendo o problema das raízes desses números. Entretanto, ainda faltava formalizarem-se as operações, propriedades e elementos especiais dos números complexos. Isso aconteceu mais de dois séculos depois com Leonhard Euler (1707-1783).Euler começou por melhorar a simbologia dos números complexos, substituindo a notação por i, sendo i um ente tal que i2 = -1, chamado base dos números imaginários: a partir daí, o número a + b passava a ser representado na sua forma algébrica, a + bi, possibilitando operações como se fossem polinômios.a + bi (c + di) = a c + (b d)i(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)iPara quaisquer x, y, z complexos, também se provaram as propriedades: i2
Nome:Thais chagas N° 44
NÚMEROS COMPLEXOS
A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos números de Cayley, ... .
É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos. Ela é definida por:
onde s = c + i d é um número complexo e c >1.
A história dos números complexos revela-se fascinante. Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração. Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é . Ora, não é razão de naturais! Além disso, os Pitagóricos descobriram muitos outros desse tipo: , , , , ... .
O Surgimento dos Numeros Complexos
Resolver equa coes sempre foi um assunto que fascinou matematicos ao longo da historia. Osmatematicos antigos da Babil^onia j a conseguiam resolver algumas equacoes do 2o grau baseadosno que hoje chamamos de completamento de quadrado".Os matematicos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da matematica, resolviam alguns tipos de equacoes do 2o grau com r egua e compasso.A conquista da Grecia por Roma praticamente acabou com o dominio da Matematica Grega.Com o m do Imperio Romano e a ascensao do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevase o desenvolvimento da Matematica cou nas maos dos arabes e dos hindus.Os matem aticos hindus avan caram nas pesquisas em Algebra e Baskara e o nome que imediatamentevem a nossa memoria quando falamos de equacoes do 2o grau. Entretanto a f ormula deBaskara nao foi descoberta por ele, mas sim pelo matemamico hindu Sridhara, no seculo 11. Os N umeros Complexos Sao De nidosA Aritmetica e a Geometria tiveram origens independentes mas com o tempo foram sendodescobertas relacoes entre numeros e formas. A ideia de empregar sistemas de coordenadas parade nir posições de pontos no plano e no espaco ja havia sido utilizada da no s eculo III a.C.por Apol^onio, em seus trabalhos sobre seccoes conicas. Entretanto, foi na primeira metade dos eculo XVII que os geniais matem aticos franceses Pierre de Fermat e Ren e Descartes inventaram,independentemente e quase simultaneamente, o que hoje conhecemos por Geometria Analitica.Fermat não se preocupou em publicar suas ideias, ao contr ario de descartes que, no apêndicde seu mais famoso livro Discurso Sobre o Metodo de Bem Utilizar a Razão e de Encontrar aVerdade nas Ciências, publicado em 1637, escreveu um trabalho denominado La Geometrie, quee considerado a pedra fundamental da Geometria Analitica.Com o dom nio da geometria Anal tica Descartes estudou, entre outras coisas, as equaçãoesalg ebricas. Em uma passagem do Discurso do M etodo Descartes escreveu a seguinte frase: \Nemsempre as raizes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equaçãao são reais. As vezeselas são imaginarias".
Números complexos
História de uma unidade imaginária
Em 1545, na Itália, pesquisavam-se as soluções de equações algébricas. Um folheto de problemas proposto pelo matemático Girolamo Cardano exibia o seguinte problema:"Dividir o número 10 em duas parcelas cujo produto seja 40".Para Cardano, "o problema é manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar": ele mostrou que os números 5 + e 5 - funcionariam como soluções do problema.Contudo, ele não encontrou explicação para esses resultados. Somente supunha que esses números - uma vez obedecendo às regras da álgebra válidas para números reais - satisfaziam as condições impostas:
· a soma dos dois números é 10;
· produto dos dois números é 40.Algo mais inquietante ocorria na resolução da equação x3 - 15x - 4 = 0. Cardano conhecia a solução x = 4, mas a aplicação de uma regra prática levava a .Porém, como se chega a = 4?A resposta foi dada em 1572, por Rafael Bombelli, a quem ocorreu que talvez cada uma das parcelas (expressas como raízes cúbicas) fossem algo do tipo a + e a - .Supondo, novamente, que se pudessem operar tais entidades segundo as mesmas regras da álgebra dos números reais, ele chegou à forma:= 2 + = 2 - e, finalmente,= 2 + + 2 - = 4.O próprio Bombelli duvidou da validade desses resultados: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade." De fato, os nomes atribuídos a esses novos números refletem bem o desconforto que causaram, na falta de coisa melhor: números "sofísticos", "sem significado", "impossíveis", "fictícios", "místicos", "imaginários".
Leonhard Euler
Mesmo assim, eles vieram resolver a insuficiência dos números reais para a solução das equações algébricas, resolvendo o problema das raízes desses números. Entretanto, ainda faltava formalizarem-se as operações, propriedades e elementos especiais dos números complexos. Isso aconteceu mais de dois séculos depois com Leonhard Euler (1707-1783).Euler começou por melhorar a simbologia dos números complexos, substituindo a notação por i, sendo i um ente tal que i2 = -1, chamado base dos números imaginários: a partir daí, o número a + b passava a ser representado na sua forma algébrica, a + bi, possibilitando operações como se fossem polinômios.a + bi (c + di) = a c + (b d)i(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)iPara quaisquer x, y, z complexos, também se provaram as propriedades: i2
João Paulo e Caroline
História dos numeros complexos
A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos números de Cayley, ... .
É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos. Ela é definida por:
onde s = c + i d é um número complexo e c >1.
Essa função é a chave da demonstração do Teorema do Número Primo que afirma que o número , de primos p tais que p é menor ou igual a x, é aproximadamente
quando x é muito grande. Esse teorema foi conjeturado por Gauss e Legendre, e demonstrado por Hadamard e de La Vallée Poussin, em 1898.
A história dos números complexos revela-se fascinante. Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração. Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é . Ora, não é razão de naturais! Além disso, os Pitagóricos descobriram muitos outros desse tipo: , , , , ... .
Portanto, por necessidades intrínsecas da investigação matemática, o universo dos números naturais foi expandido amplamente. Durante o desenvolvimento da Álgebra, na Idade Média, os matemáticos italianos exploraram vários tipos de equações e classificaram suas soluções. Essa investigação mostrou que algumas equações não possuíam solução em termos dos números conhecidos. Um dos problemas enfrentados consistia na solução da equação x² + 1 = 0. Essa equação não parecia ter solução, pois contrariava o fato de que todo número real distinto de zero, quando elevado ao quadrado, é positivo. Os matemáticos indianos e árabes, quando se deparavam com essas equações se recusavam a definir algum símbolo para expressar a raiz quadrada de um número negativo, pois consideravam o problema completamente sem sentido. No Século XVI, raízes quadradas de números negativos começaram a aparecer em textos algébricos, porém os autores frisavam que as expressões não possuíam significado e utilizavam termos tais como ”fictícias”, “impossíveis”, “sofisticadas”, para mencioná-las. O matemático alemão Leibniz (1646-1716), um dos inventores do Cálculo Diferencial, atribuía à raiz quadrada de –1 um certo caráter metafísico interpretando-a como uma manifestação do “Espírito Divino”; a mesma sensação de espanto sucedeu com o matemático suíço Lenhard Euler.
bibliografia
Kerollyn nº26 , Daniel nº07.
Números Complexos
Resumo:
Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto , uma extensão do conjunto dos números reais , onde existe um elemento que representa a raiz quadrada de número -1, a assim chamada unidade imaginária.Cada número complexo z pode ser representado na forma:
z = a+bi
onde e são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e denota a unidade imaginária:
i² = -1
O plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss é uma representação geométrica do conjunto dos números complexos. Da mesma forma como a cada ponto da reta real está associado um número real, o plano complexo associa biunivocamente o ponto(x,y) do plano ao número complexo(x + yi) . Esta associação conduz a pelo menos duas formas de representar um número complexo:
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo
Pamela ,Andressa
Historia dos Numeros Copmplexos
Os matemáticos antigos da babilonia já conseguiam resolver algumas equação do 2° grau baseado que hoje chamamos de complemento de quadrado.
Os matematicos grego resolvia equaçao do 2° grau com regua e compasso.
Os matematicos hindus avançaram na pesquisa de Algebra e Baskara.
O interesse pela estudo da matematica ressurgiu na europa ,mais especificamente na italia,no século xvi.Lá ,e no meio da disputa entre Cardano eTartaglia pela resoluçao da equaçao do 3° grau ,é que se percebeu que os numeros reais nao eram suficiente e as primeira idéias da criaçao do conjunto dos numeros complexos surgiram.
Fonte:www.igm.mat.br/cursos/fvc/complexos.pdf
Conclusao:os numeros complexos foram criado para resolver equações
Os matemáticos antigos da babilonia já conseguiam resolver algumas equação do 2° grau baseado que hoje chamamos de complemento de quadrado.
Os matematicos grego resolvia equaçao do 2° grau com regua e compasso.
Os matematicos hindus avançaram na pesquisa de Algebra e Baskara.
O interesse pela estudo da matematica ressurgiu na europa ,mais especificamente na italia,no século xvi.Lá ,e no meio da disputa entre Cardano eTartaglia pela resoluçao da equaçao do 3° grau ,é que se percebeu que os numeros reais nao eram suficiente e as primeira idéias da criaçao do conjunto dos numeros complexos surgiram.
Fonte:www.igm.mat.br/cursos/fvc/complexos.pdf
Conclusao:os numeros complexos foram criado para resolver equações
Rodrigo e Michael.
NÚMEROS COMPLEXOS
A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos números de Cayley, ... .
É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos. Ela é definida por:
onde s = c + i d é um número complexo e c >1.
Essa função é a chave da demonstração do Teorema do Número Primo que afirma que o número , de primos p tais que p é menor ou igual a x, é aproximadamente
quando x é muito grande. Esse teorema foi conjeturado por Gauss e Legendre, e demonstrado por Hadamard e de La Vallée Poussin, em 1898.
A história dos números complexos revela-se fascinante. Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração. Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é . Ora, não é razão de naturais! Além disso, os Pitagóricos descobriram muitos outros desse tipo: , , , , ... .
Bibliografia
http://www.somatematica.com.br/coluna/gisele/29032004.php
A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos números de Cayley, ... .
É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos. Ela é definida por:
onde s = c + i d é um número complexo e c >1.
Essa função é a chave da demonstração do Teorema do Número Primo que afirma que o número , de primos p tais que p é menor ou igual a x, é aproximadamente
quando x é muito grande. Esse teorema foi conjeturado por Gauss e Legendre, e demonstrado por Hadamard e de La Vallée Poussin, em 1898.
A história dos números complexos revela-se fascinante. Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração. Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é . Ora, não é razão de naturais! Além disso, os Pitagóricos descobriram muitos outros desse tipo: , , , , ... .
Bibliografia
http://www.somatematica.com.br/coluna/gisele/29032004.php
Luis Carlos-Jefferson
NÚMEROS COMPLEXOS
A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos números de Cayley, ... .
É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos.
A Teoria dos Números é o ramo da Matemática que investiga as propriedades dos números naturais ou inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Os números naturais surgem do processo de contagem e é impossível imaginar a humanidade desprovida da habilidade de contar. O conceito de número natural foi axiomatizado (axiomas são afirmações aceitas como verdades iniciais sem demonstração) em 1889 pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), numa das primeiras manifestações da Axiomática Moderna e da Abstração Matemática. Os matemáticos estenderam os números naturais aos inteiros, aos racionais, aos irracionais, aos complexos, aos quatérnios, aos octonions, aos números de Cayley, ... .
É impossível imaginar a Teoria dos Números desprovida da rica e poderosa Teoria das Funções de Uma Variável Complexa. Um dos exemplos mais importantes é a função de uma variável complexa denominada função Zeta de Riemann que dá informações sobre a distribuição dos números primos.
JOÃO CARLOS E FRANK
Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto
Cada número complexo z pode ser representado na forma:
onde
O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo. Este corpo é algebricamente fechado. Os complexos possuem também um módulo que, usado como norma, conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Os números complexos encontram aplicação em numerosos problemas da matemática, física e engenharia, sobretudo da solução de equações algébricas e equações diferenciais
Em engenharia e física, é comum a troca da letra
Maria & mikaele
Uma Introdução ao estudo dos Números Complexos
Renate Watanabe
M. Sc. Illinois Univ.
Prof. Unive. Mackenzie
Prof. no E.E.S.G. Virgília Rodrigues Alves Carvalho Pinto
Ao iniciar o estudo dos números complexos no 2o grau, o professor, em geral, enfrenta um dilema: Deve ele apresentar os números complexos simplesmente como sendo "números da forma a + bi onde i2 = -1" ou como "pares ordenados de números reais sujeitos a duas operações a serem definidas"?
Os que adotam a primeira opção argumentam que ela prima pela simplicidade e, perguntam, onde está o aluno que se perturba, ou sequer percebe, que não lhe foi dada a menor idéia do que venha a ser o "vezes" em bi ou o "mais" em a + bi e que, na verdade, nada lhes foi dado. Se os alunos não se atrapalham e acertam os exercícios, o que mais se pode querer?
Já a outros professores desagrada fazer tal apresentação só por ser ela mais simples, num quase abuso da boa fé dos alunos. Reconhecem eles que a introdução dos números complexos como pares ordenados é bastante artificial e certamente não esclarecedora. Mas, parece lhes ser uma introdução mais honesta.
Este artigo (parcialmente contido em um livro didático a ser publicado) pretende mostrar que as dificuldades encontradas pelo professor integram a própria história dos números complexos. Cerca de 300 anos decorreram entre o uso ingênuo do "símbolo a + bi" e a sua formalização como "par ordenado de números reais sujeitos a duas operações". Se, no 2o grau, a introdução dos números complexos for feita paralelamente a um resumo de seu desenvolvimento histórico, não só ela se torna simples e não artificial, mas oferece uma inigualável oportunidade para mostrar o nascimento de um ente matemático, a desconfiança com que é inicialmente recebido mesmo por eminentes matemáticos da época, a sua permanência, apesar de tudo, por se ter mostrado útil, a sua aceitação definitiva após ter recebido uma interpretação concreta e, finalmente, a sua formalização.
Por volta de 1500 um pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Não existe raiz quadrada de um número negativo porque um número negativo não é quadrado de nenhum número".
O número complexo é um par ordenado de números reais e, portanto, não é um número real. Mas, se a é real, os pares ordenado (a, 0) se comportam, nas operações como os números reais.
Temos:Bibiografia
ia da Matemática Carl B. Boyer Editora Edgard Blucher Ltda.
Historical Topics for the Mathematics Classroom The National Council of Teachers of Mathematics
Number The Language of Science Tobias Dantzig The Free Press – New York
Men of Mathematics E. T. Bell Simon and Schuster – New York
Renate Watanabe
M. Sc. Illinois Univ.
Prof. Unive. Mackenzie
Prof. no E.E.S.G. Virgília Rodrigues Alves Carvalho Pinto
Ao iniciar o estudo dos números complexos no 2o grau, o professor, em geral, enfrenta um dilema: Deve ele apresentar os números complexos simplesmente como sendo "números da forma a + bi onde i2 = -1" ou como "pares ordenados de números reais sujeitos a duas operações a serem definidas"?
Os que adotam a primeira opção argumentam que ela prima pela simplicidade e, perguntam, onde está o aluno que se perturba, ou sequer percebe, que não lhe foi dada a menor idéia do que venha a ser o "vezes" em bi ou o "mais" em a + bi e que, na verdade, nada lhes foi dado. Se os alunos não se atrapalham e acertam os exercícios, o que mais se pode querer?
Já a outros professores desagrada fazer tal apresentação só por ser ela mais simples, num quase abuso da boa fé dos alunos. Reconhecem eles que a introdução dos números complexos como pares ordenados é bastante artificial e certamente não esclarecedora. Mas, parece lhes ser uma introdução mais honesta.
Este artigo (parcialmente contido em um livro didático a ser publicado) pretende mostrar que as dificuldades encontradas pelo professor integram a própria história dos números complexos. Cerca de 300 anos decorreram entre o uso ingênuo do "símbolo a + bi" e a sua formalização como "par ordenado de números reais sujeitos a duas operações". Se, no 2o grau, a introdução dos números complexos for feita paralelamente a um resumo de seu desenvolvimento histórico, não só ela se torna simples e não artificial, mas oferece uma inigualável oportunidade para mostrar o nascimento de um ente matemático, a desconfiança com que é inicialmente recebido mesmo por eminentes matemáticos da época, a sua permanência, apesar de tudo, por se ter mostrado útil, a sua aceitação definitiva após ter recebido uma interpretação concreta e, finalmente, a sua formalização.
Por volta de 1500 um pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Não existe raiz quadrada de um número negativo porque um número negativo não é quadrado de nenhum número".
O número complexo é um par ordenado de números reais e, portanto, não é um número real. Mas, se a é real, os pares ordenado (a, 0) se comportam, nas operações como os números reais.
Temos:Bibiografia
ia da Matemática Carl B. Boyer Editora Edgard Blucher Ltda.
Historical Topics for the Mathematics Classroom The National Council of Teachers of Mathematics
Number The Language of Science Tobias Dantzig The Free Press – New York
Men of Mathematics E. T. Bell Simon and Schuster – New York
willian 3ºa n°46
Numeros Complexos
Os matematicos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da matem
atica, resolviam alguns tipos de equacoes do 2o grau com regua e compasso.
A conquista da Grecia por Roma praticamente acabou com o dominio da Matematica Grega.
Com do Imperio Romano e a ascenssao do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevas
o desenvolvimento da Matematica cou nas maos dos arabes e dos hindus.
Os matematicos hindus avancaram nas pesquisas em Algebra e Baskara e o nome que imediatamente
vem a nossa memoria quando falamos de equacoes do 2o grau. Entretanto a formula de
Baskara nao foi descoberta por ele, mas sim pelo matematico hindu Sridhara, no seculo 11.
O interesse pelo estudo da Matematica ressurgiu na Europa, mais especi camente na Italia, no
seculo XVI. La, e no meio da disputa entre Cardano e Tartaglia pela resoluçao da equacao do 3o
grau, e que se percebeu que os numeros reais nao eram suficientes e as primeiras ideias da criacao
do conjunto dos numeros complexos.
Bibliografia
Resumo: Fabricio / Gustavo
Números Complexos
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadradade -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadradade -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto , uma extensão do conjunto dos números reais , onde existe um elemento que representa a raiz quadrada de número -1, a assim chamada unidade imaginária.
Cada número complexo z pode ser representado na forma:onde e são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e denota a unidade imaginária:
O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo. Este corpo é algebricamente fechado. Os complexos possuem também um módulo que, usado como norma, conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Os números complexos encontram aplicação em numerosos problemas da matemática, física e engenharia, sobretudo da solução de equações algébricas e equações diferenciais.
Em engenharia e física, é comum a troca da letra pela letra , devido ao freqüente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.
Cada número complexo z pode ser representado na forma:onde e são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e denota a unidade imaginária:
O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo. Este corpo é algebricamente fechado. Os complexos possuem também um módulo que, usado como norma, conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Os números complexos encontram aplicação em numerosos problemas da matemática, física e engenharia, sobretudo da solução de equações algébricas e equações diferenciais.
Em engenharia e física, é comum a troca da letra pela letra , devido ao freqüente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.
O plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss é uma representação geométrica do conjunto dos números complexos. Da mesma forma como a cada ponto da reta real está associado um número real, o plano complexo associa biunivocamente o ponto do plano ao número complexo . Esta associação conduz a pelo menos duas formas de representar um número complexo:
Forma retangular ou cartesiana: representa o número Z em coordenadas cartesianas ,
Forma retangular ou cartesiana: representa o número Z em coordenadas cartesianas ,
eparando a parte real da parte imaginária.
Forma polar: onde r é a distância euclidiana do ponto até a origem do sistema de coordenadas, chamada de módulo do número complexo e denotada . Enquanto é o ângulo entre a semi-reta e o semi-eixo real, chamado de argumento do número complexo Z e denotado por .
Através da identidade , a forma polar é equivalente à chamada forma exponencial.
Forma polar: onde r é a distância euclidiana do ponto até a origem do sistema de coordenadas, chamada de módulo do número complexo e denotada . Enquanto é o ângulo entre a semi-reta e o semi-eixo real, chamado de argumento do número complexo Z e denotado por .
Através da identidade , a forma polar é equivalente à chamada forma exponencial.
Operações Elementares
O conjunto dos números complexos é um corpo. Portanto, é fechado sobre as operações de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo do conjunto possui um inverso multiplicativo. Todas as operações do corpo podem ser performadas através das propriedades associativa, comutativa e distribuitiva, levando em consideração a identidade.
Fonte: Wikipédia
imagem: Google
Numeros Complexos
Os numeros complexos Ao iniciar o estudo dos números complexos no 2o grau, o professor, em geral, enfrenta um dilema: Deve ele apresentar os números complexos simplesmente como sendo "números da forma a + bi onde i2 = -1" ou como "pares ordenados de números reais sujeitos a duas operações a serem definidas"?
Os que adotam a primeira opção argumentam que ela prima pela simplicidade e, perguntam, onde está o aluno que se perturba, ou sequer percebe, que não lhe foi dada a menor idéia do que venha a ser o "vezes" em bi ou o "mais" em a + bi e que, na verdade, nada lhes foi dado. Se os alunos não se atrapalham e acertam os exercícios, o que mais se pode querer?
Já a outros professores desagrada fazer tal apresentação só por ser ela mais simples, num quase abuso da boa fé dos alunos. Reconhecem eles que a introdução dos números complexos como pares ordenados é bastante artificial e certamente não esclarecedora. Mas, parece lhes ser uma introdução mais honesta.
Este artigo (parcialmente contido em um livro didático a ser publicado) pretende mostrar que as dificuldades encontradas pelo professor integram a própria história dos números complexos. Cerca de 300 anos decorreram entre o uso ingênuo do "símbolo a + bi" e a sua formalização como "par ordenado de números reais sujeitos a duas operações". Se, no 2o grau, a introdução dos números complexos for feita paralelamente a um resumo de seu desenvolvimento histórico, não só ela se torna simples e não artificial, mas oferece uma inigualável oportunidade para mostrar o nascimento de um ente matemático, a desconfiança com que é inicialmente recebido mesmo por eminentes matemáticos da época, a sua permanência, apesar de tudo, por se ter mostrado útil, a sua aceitação definitiva após ter recebido uma interpretação concreta e, finalmente, a sua formalização.
Adotar no ensino tão somente a primeira opção é parar conceitualmente no século XVI. Adotar a segunda opção é inverter o processo histórico.
bruna
vinicius 3a
Os que adotam a primeira opção argumentam que ela prima pela simplicidade e, perguntam, onde está o aluno que se perturba, ou sequer percebe, que não lhe foi dada a menor idéia do que venha a ser o "vezes" em bi ou o "mais" em a + bi e que, na verdade, nada lhes foi dado. Se os alunos não se atrapalham e acertam os exercícios, o que mais se pode querer?
Já a outros professores desagrada fazer tal apresentação só por ser ela mais simples, num quase abuso da boa fé dos alunos. Reconhecem eles que a introdução dos números complexos como pares ordenados é bastante artificial e certamente não esclarecedora. Mas, parece lhes ser uma introdução mais honesta.
Este artigo (parcialmente contido em um livro didático a ser publicado) pretende mostrar que as dificuldades encontradas pelo professor integram a própria história dos números complexos. Cerca de 300 anos decorreram entre o uso ingênuo do "símbolo a + bi" e a sua formalização como "par ordenado de números reais sujeitos a duas operações". Se, no 2o grau, a introdução dos números complexos for feita paralelamente a um resumo de seu desenvolvimento histórico, não só ela se torna simples e não artificial, mas oferece uma inigualável oportunidade para mostrar o nascimento de um ente matemático, a desconfiança com que é inicialmente recebido mesmo por eminentes matemáticos da época, a sua permanência, apesar de tudo, por se ter mostrado útil, a sua aceitação definitiva após ter recebido uma interpretação concreta e, finalmente, a sua formalização.
Adotar no ensino tão somente a primeira opção é parar conceitualmente no século XVI. Adotar a segunda opção é inverter o processo histórico.
bruna
vinicius 3a
Renan Nº 35 e Daiane Nº 06 (Números Complexos)
Números Complexos
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Definição:
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Definição:
Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária . Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)u = 100i ( a = 0 e b = 100)
Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados . Assim é que z = a + bi = (a,b). Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss. O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.
Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados . Assim é que z = a + bi = (a,b). Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss. O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.
SURGIMENTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Um pouco de história
Por volta de 1500 um pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Não existe raiz quadrada de um número negativo porque um número negativo não é quadrado de nenhum número".
Tudo começou quando Cardano, em 1545, publicou um trabalho e propôs o seguinte problema: "Dividia 10 em duas partes de modo que o seu produto seja 40".
Esse problema, dizia ele, é "manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar" (Cardano, além de jogador, astrólogo e professor, era também um médico de renome), e mostrou que
eram soluções do problema. Concluiu porém que essas expressões eram "verdadeiramente sofísticas e sua manipulação tão sutil quanto inútil". Cardano já havia deparado com essas raízes sofísticas ao resolver equações do 3o grau. Aplicando uma regra que ele mesmo publicara.
Os números complexos surgiu após o IMPÉRIO ROMANO.
Após isso os matemáticos hindus avançaram nas pesquisas em ALGEBRA e BASKARA é o nome que imediatamente vem a nossa memória equações do 2°grau.
A formula de baskara não foi descoberta por ele mais sim hindo sridhara,no século 11.
BASKARA dada equação: ax²+bx+c=0com a diferente 0.
Consta que, por volta de 1510 um matematico Italiano de nome Scipione Del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equações do tipo x³+px+q=0.
Para finalizar concluimos que os numeros complexos são uma parte imaginaria e real.
Bibliografia
História da Matemática Carl B. Boyer Editora Edgard Blucher Ltda.
Historical Topics for the Mathematics Classroom The National Council of Teachers of Mathematics
Number The Language of Science Tobias Dantzig The Free Press – New York
Men of Mathematics E. T. Bell Simon and Schuster – New York
Por volta de 1500 um pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Não existe raiz quadrada de um número negativo porque um número negativo não é quadrado de nenhum número".
Tudo começou quando Cardano, em 1545, publicou um trabalho e propôs o seguinte problema: "Dividia 10 em duas partes de modo que o seu produto seja 40".
Esse problema, dizia ele, é "manifestamente impossível, mas, mesmo assim, vamos operar" (Cardano, além de jogador, astrólogo e professor, era também um médico de renome), e mostrou que
eram soluções do problema. Concluiu porém que essas expressões eram "verdadeiramente sofísticas e sua manipulação tão sutil quanto inútil". Cardano já havia deparado com essas raízes sofísticas ao resolver equações do 3o grau. Aplicando uma regra que ele mesmo publicara.
Os números complexos surgiu após o IMPÉRIO ROMANO.
Após isso os matemáticos hindus avançaram nas pesquisas em ALGEBRA e BASKARA é o nome que imediatamente vem a nossa memória equações do 2°grau.
A formula de baskara não foi descoberta por ele mais sim hindo sridhara,no século 11.
BASKARA dada equação: ax²+bx+c=0com a diferente 0.
Consta que, por volta de 1510 um matematico Italiano de nome Scipione Del Ferro encontrou uma forma geral de resolver equações do tipo x³+px+q=0.
Para finalizar concluimos que os numeros complexos são uma parte imaginaria e real.
Bibliografia
História da Matemática Carl B. Boyer Editora Edgard Blucher Ltda.
Historical Topics for the Mathematics Classroom The National Council of Teachers of Mathematics
Number The Language of Science Tobias Dantzig The Free Press – New York
Men of Mathematics E. T. Bell Simon and Schuster – New York
Amanda Moraes
Roger Antonio
o surgimento dos numeros complexos- Erick e Priscila
A história dos números complexos revela-se fascinante.
Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração.
Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações.
Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5.
Matemáticos não resistiram, ao longo da História, à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero.
Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é .
Os números complexos são os elementos do conjunto , uma extensão do conjunto dos números reais , onde existe um elemento que representa a raiz quadrada de número -1, a assim chamada unidade imaginária.
Cada número complexo z pode ser representado na forma:
onde e são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e denota a unidade imaginária:
onde e são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e denota a unidade imaginária:
O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo. Este corpo é algebricamente fechado. Os complexos possuem também um módulo que, usado como norma, conduz a um espaço normado topologicamente completo.
Alguns matemáticos europeus, em particular os italianos Gerolamo Cardano e Rafaello Bombelli, introduziram os números complexos na Álgebra, durante o Século XVI.
O talento e a genialidade de Gauss levaram a um dos resultados mais profundos da Matemática, o Teorema Fundamenta Álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui solução no corpo dos números complexos.
Além desse resultado importantíssimo, a álgebra dos números complexos originou uma nova área de investigação — a Análise Complexa — que tem um papel fundamental no desenvolvimento da Álgebra e da Teoria dos Números.
Os números complexos representam uma das estruturas mais importantes da Ciência. Atualmente, é impossível imaginar a Engenharia Elétrica, a Aerodinâmica, ou a Dinâmica dos Fluidos, sem os números complexos.
A Mecânica Quântica faz uso dos números complexos e, na Teoria da Relatividade de Einstein, o espaço tridimensional é visto como real e a dimensão relativa ao tempo como imaginário.
Bibliografia:
Numeros complexos
Por volta de 1500 um pensamento corrente entre os matemáticos era o seguinte: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Não existe raiz quadrada de um número negativo porque um número negativo não é quadrado de nenhum número".
Tudo começou quando Cardano, em 1545, publicou um trabalho e propôs o seguinte problema: "Dividia 10 em duas partes de modo que o seu produto seja 40".
O passo seguinte foi dado por Bombelli (1560). Observando a equação acima lhe ocorreu que talvez as duas raízes cúbicas fossem expressões do tipo e e que, essas, somadas da maneira usual, dessem 4: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade." E, de fato, Bombelli mostrou que as raízes cúbicas achadas por Cardano eram, respectivamente, iguais a e e que somadas dão 4.
Tudo começou quando Cardano, em 1545, publicou um trabalho e propôs o seguinte problema: "Dividia 10 em duas partes de modo que o seu produto seja 40".
O passo seguinte foi dado por Bombelli (1560). Observando a equação acima lhe ocorreu que talvez as duas raízes cúbicas fossem expressões do tipo e e que, essas, somadas da maneira usual, dessem 4: "Foi uma idéia louca, julgaram muitos e também eu fui dessa opinião. Tudo parecia ser mais um sofisma que uma verdade." E, de fato, Bombelli mostrou que as raízes cúbicas achadas por Cardano eram, respectivamente, iguais a e e que somadas dão 4.
Willian n° 46
O Surgimento dos Numeros Complexos
Resolver equa coes sempre foi um assunto que fascinou matematicos ao longo da hist oria. Os
mateaticos antigos da Babil^onia j a conseguiam resolver algumas equacoes do 2o grau baseados
no que hoje chamamos de completamento de quadrado".
Os matematicos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da matem
atica, resolviam alguns tipos de equacoes do 2o grau com r egua e compasso.
A conquista da Grecia por Roma praticamente acabou com o dominio da Matematica Grega.
Com o m do Imperio Romano e a ascensao do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevas
e o desenvolvimento da Matematica cou nas maos dos arabes e dos hindus.
Os matem aticos hindus avan caram nas pesquisas em Algebra e Baskara e o nome que imediatamente
vem a nossa memoria quando falamos de equacoes do 2o grau. Entretanto a f ormula de
Baskara nao foi descoberta por ele, mas sim pelo matemamico hindu Sridhara, no seculo 11.
Os N umeros Complexos Sao De nidos
A Aritmetica e a Geometria tiveram origens independentes mas com o tempo foram sendo
descobertas relacoes entre numeros e formas. A ideia de empregar sistemas de coordenadas para
de nir posições de pontos no plano e no espaco ja havia sido utilizada da no s eculo III a.C.
por Apol^onio, em seus trabalhos sobre seccoes conicas. Entretanto, foi na primeira metade do
s eculo XVII que os geniais matem aticos franceses Pierre de Fermat e Ren e Descartes inventaram,
independentemente e quase simultaneamente, o que hoje conhecemos por Geometria Analitica.
Fermat não se preocupou em publicar suas ideias, ao contr ario de descartes que, no apêndic
de seu mais famoso livro Discurso Sobre o Metodo de Bem Utilizar a Razão e de Encontrar a
Verdade nas Ciências, publicado em 1637, escreveu um trabalho denominado La Geometrie, que
e considerado a pedra fundamental da Geometria Analitica.
Com o dom nio da geometria Anal tica Descartes estudou, entre outras coisas, as equaçãoes
alg ebricas. Em uma passagem do Discurso do M etodo Descartes escreveu a seguinte frase: \Nem
sempre as raizes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equaçãao são reais. As vezes
elas s~ao imagin arias".
5
Resolver equa coes sempre foi um assunto que fascinou matematicos ao longo da hist oria. Os
mateaticos antigos da Babil^onia j a conseguiam resolver algumas equacoes do 2o grau baseados
no que hoje chamamos de completamento de quadrado".
Os matematicos gregos, que desempenharam importante papel no desenvolvimento da matem
atica, resolviam alguns tipos de equacoes do 2o grau com r egua e compasso.
A conquista da Grecia por Roma praticamente acabou com o dominio da Matematica Grega.
Com o m do Imperio Romano e a ascensao do Cristianismo, a Europa entrou na Idade das Trevas
e o desenvolvimento da Matematica cou nas maos dos arabes e dos hindus.
Os matem aticos hindus avan caram nas pesquisas em Algebra e Baskara e o nome que imediatamente
vem a nossa memoria quando falamos de equacoes do 2o grau. Entretanto a f ormula de
Baskara nao foi descoberta por ele, mas sim pelo matemamico hindu Sridhara, no seculo 11.
Os N umeros Complexos Sao De nidos
A Aritmetica e a Geometria tiveram origens independentes mas com o tempo foram sendo
descobertas relacoes entre numeros e formas. A ideia de empregar sistemas de coordenadas para
de nir posições de pontos no plano e no espaco ja havia sido utilizada da no s eculo III a.C.
por Apol^onio, em seus trabalhos sobre seccoes conicas. Entretanto, foi na primeira metade do
s eculo XVII que os geniais matem aticos franceses Pierre de Fermat e Ren e Descartes inventaram,
independentemente e quase simultaneamente, o que hoje conhecemos por Geometria Analitica.
Fermat não se preocupou em publicar suas ideias, ao contr ario de descartes que, no apêndic
de seu mais famoso livro Discurso Sobre o Metodo de Bem Utilizar a Razão e de Encontrar a
Verdade nas Ciências, publicado em 1637, escreveu um trabalho denominado La Geometrie, que
e considerado a pedra fundamental da Geometria Analitica.
Com o dom nio da geometria Anal tica Descartes estudou, entre outras coisas, as equaçãoes
alg ebricas. Em uma passagem do Discurso do M etodo Descartes escreveu a seguinte frase: \Nem
sempre as raizes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equaçãao são reais. As vezes
elas s~ao imagin arias".
5
Alunos: Guilherme, 15; Jéssica Plata, 21
Números Complexos I
Um pouco de história
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadradade -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i
Potências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero. Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:
i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).
Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
CONCLUSÃO DOS ALUNOS:
Números Complexos I
Um pouco de história
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadradade -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i
Potências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero. Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:
i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).
Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
BIBLIOGRAFIA: http://www.algosobre.com.br/matematica/numeros-complexos-i.html
FEI VESTIBULAR.
CONCLUSÃO DOS ALUNOS:
Conclui-se que, os números complexos surgiram a partir das raizes quadradas de números negativos. E que ao passar do tempo os matemáticos Ulisses, Argand e Gauss se aprofundaram ainda mais nos estudos das raizes quadradas dos numeros negativos, e assim estes são considerados os maiores estudiosos da teoria dos numeros complexos.
Sendo considerada uma unidade imaginaria representada pela letra "I" sendo a raiz de -1.
sexta-feira, 21 de maio de 2010
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